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初中女生数学思维的训练和培养

陈观芬、董蓓茵

初中阶段女生的数学思维与其它阶段及男生的思维有很多的共通之处，同时，又有自身的特点。上海市三女中是一所女校，我们想通过对初中女生，这一女中教学主体的数学思维特点的研究，有的放矢地进行课堂内、外的数学思维训练活动，以提高学生的数学思维质量，更好地保证教学效果 . 数学教学何去何从？学生的数学思维如何激活？今天如何上好数学？等等，都是今天的数学老师正在思考的问题。

•  用数学语言来表达是数学思维的关键

为了分析学生数学思维的现状，我们从数学语言表达入手进行 测试。

测试问题：

题 1 ：请将此图 ( 实线表示 ) 用适当的语言通过电话准确地传输给你的同学，并将电话语言写在以下的横线上：＿＿＿＿＿＿＿。

题 2 ：下表所示为装运甲、乙、丙三种物品的重量及利润，某汽运公司计划装运三种物品到外地销售（每辆汽车满载且只能装一种物品）。

•  若用 8 辆汽车装运乙、丙两种物品 11 吨到 A 地，问装运乙丙两种物品的汽车各多少辆？

•  公司计划用 20 辆汽车装运甲、乙、丙三种物品 36 吨到 B 地（每种物品不少于一车）如何安排装运，可使公司获得最大利润？最大利润是多少？

测试结果：题 1 ：表述清楚的仅 2 人，含糊但大概能得其要领的 12 人，其余的人基本上是在“胡说”，表述的最好的一位用的是坐标法，仅用了一句话：“顺次联结点 (1 ， 1) ， (1 ， 4) ， (4 ， 4) ，（ 3 ， 3 ）， (4 ， 2) ， (3 ， 1) 所得的封闭图形，”大多数同学都是洋洋数百言却越说越胡涂；题 2 ： 40% 的同学为两题都不能解答，能回答出一题的同学占 50% ，即只有 10% 的同学能将两题都解出。实际第一问题就是设一个变量列出一元一次方程解问题；第二问题需设两个变量，是函数最大值的问题。

结果分析：题 1 的测试结果与我们的实际期望值相差很大，说明了学生转换“图形语言”的能力不强．题 2 的测试说明了学生的阅读理解能力很弱，数学化能力差，虽然具有很好的数学“知识”．但面对中考中的“新面孔”依然无从下手，遭致惨败，这实际上表明学生缺乏“文字语言”向“符号语言”转换的能力．由此可见，目前初中学生的数学语言的转换能力有待提高。

二、数学思维应该训练而且能够训练

如果说数学思维结果总可以用书面形式记录下来，那么，数学思维的过程则是十分丰富而难于记录的，教师在日常教学中易犯急功近利的毛病，只注重题海，而忽视了教学认识过程的辨证性．认为学生对数学概念和结论的认识是二值逻辑，要么掌握，要么不掌握，要么正确，要么不正确，两者必居其一．而学生通过思维由不知到知的实际过程远比我们想象的要复杂，要艰苦，只有通过有意识的训练，才能进步的较快。

例如：在初中一年级第一学期等腰三角形教学中有这样一条定理：“等腰三角形顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合”，简称“等腰三角形三线合一”．在完成课本中的例 2 ： ( 如下图 2) 已知 AB ＝ AC ， AD 平分∠ BAC,BD 与 CD 相等吗，为什么 ?AD 垂直到 BC 吗，为什么 ?

学生肯定回答“相等”，原因是“三线合一”，如果问“ AD 平分∠ BAC 是哪三线合一”他们必然将定理再背一遍．你若问“有三线吗 ? ”学生大多没了声音，只有极个别的学生答出一些．这说明学生通过学习对这条定理已有一定的认识，知道它是解决什么问题．但这种认识有一定的深浅度，有的深些，有的浅些．虽然会用，明白了这条定理，但在明白和不明白之间的区域仍不清晰，这就需要老师在上课时填补这一空缺．如果教师在讲解定理时先让学生阅读分析定理的条件，结论，使学生能用自己的语言叙述出这条定理为：在等腰三角形大前提下，有一条线，如果它是顶角平分线，当然也是底边的中线和底边上的高，还可以叙述成：如果它是底边上的中线，结论也就是它也是底边上的高以及顶角平分线；如果是底边上的高，那么它是顶角平分线，底边上的中线。

这样的话，上面一例也就变得简单了，虽说学生一下子说不上来，但教师只要略加铺垫，学生自然也就跟上来了，可以先问“在三角形 ABC 中 AB ＝ AC 说明什么，”回答“是等腰三角形”，“ AD 平分∠ BAC 是什么条件”，答“ AD 是顶角平分线”，“ BD 与 CD 相等，说明了什么”，“说明了 AD 是底边 BC 上的中线”，这样学生就可以将题目中的为什么叙述完整，即“等腰三角形顶角平分线与底边上的中线互相重合．”对于下一问，则可以通过学生反复练习加以强化。我们再通过这样的练习来训练学生数学语言的表达，题目如下：将“等腰三角形三线合一”的性质用符号表示：

(1) 等腰三角形顶角平分线平分底边，并且垂直于底边。

在三角形 ABC 中，如果 AB ＝ AC ，且∠ l ＝∠ 2( 如图 2) ，

那么＿＿＿＿＝＿＿＿＿，且＿＿＿＿⊥＿＿＿＿＿。

(2) 等腰三角形底边上的中线垂直于底边，并且平分顶角。

在三角形 ABC 中，如果 AB ＝ AC ，且＿＿，那么＿＿，且＿＿。

(3) 等腰三角形底边上的高平分底边和顶角。

在三角形 ABC 中，如果 AB ＝ AC ，且＿＿＿ , 那么＿＿＿，且＿＿。

初中女生在文字语言的表述上是占优势的，但是在数学语言的表达上却是薄弱环节。我们将等腰三角形三线合一的性质从文字语言向数学语言转换，如果教师在教学中注意从定理一般掌握 ，至实际运用，再到语言转换，其实就像做广播操中的伸展运动一样，给思维做了一节操．在这一转化过程中，数学学科的价值就充分地体现出来了．学生不仅学到了数学知识，而且对于这条定理根本无需死记硬背，学生在这样的训练中，学会了将定理所表达的语言信息转化为数学符号信息，其实这就是数学的抽象概括，这一能力不仅可以使思维有条有理，而且也简约了表达，这就是数学给人的思维素养的最重要的部分。

数学是思维的体操，这是为大多数人所认可的。既然是体操就要多练，只要方法正确，动作规范，效果一定是明显的。数学思维活动，既有形象思维，也有抽象思维，从脑科学来说，这不仅仅是促进了有关脑部的神经中枢，同时，既全面地发展了管逻辑思维的左脑，也发展了管想象和形象思维的右脑。因此，长期进行数学思维锻炼能改善人的思维器官。

三、数学思维的教学举例

（一）近年来，数学思维能力的培养在教学中受到了普遍重视．思维的教学主要靠启迪，而不是靠传授。女学生在阅读有情节的内容时会很有兴趣，但是当遇到阅读逻辑性强的内容时，就显得缺乏耐心了。为此，我们加强阅读题的练习，从中培养她们的阅读—理解—抽象能力。

例如：观察下列各式及其验证过程

验证：

验证：

（ 1 ）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证；

（ 2 ）针对上述各式反映的规律，写出用 n （ n 为任意自然数，且 n ≥２表示的等式，并给出证明）

解：（ 1 ）

验证：

（ 2 ）猜测：

本题设计了一种情境，需要对题目进行观察，分析，归纳，进而发现规律，得出猜想，最后对猜想做出严格证明．借助数学公式有关内容，培养运用数学思想方法解决问题的能力。对阅读理解能力的培养我们从起始年级就开始训练了。

练习题：先阅读材料，再求值：

因为 ， 所以分母是两数相乘的积，分子是这两数相减的差时，可以利用“拆项”的方法进行计算。

如：

=

= =

请利用“拆项”计算：

（ 1 ）

（ 2 ）

（二）数学思维教育中，创新意识的激发，创新思维的训练，创新能力的培养，是素质教育中最具活力的课题。针对女生的个性特点，我们注意从具体到抽象，从生活到数学。开放性试题，具有结论不唯一或未知的特征．这类试题，有利于考查学生的探索能力，发散思维和创造意识．

例如：有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个 1 至 13 之间的自然数，将这四个数 ( 每个数用且只用一次 ) 进行加减乘除四则运算，使其结果等于 24 ．例如：对 1 ， 2 ， 3 ， 4 可作运算： (1+2+3) × 4 ＝ 24 ，现有四个有理数 3 ， 4 ， -6 ， 10 运用上述规则写出不同方法的运算式，使其结果等于 24 ，运算式如下： (1) ＿＿＿＿ (2) ＿＿＿＿＿ (3) ＿＿＿＿＿， 这是结论开放的命题。

（三）数学的系统性、严密性也是数学教学中需要注意的。我们在数学教学中强调基本知识和基本概念，不仅是出于教学技术上的考虑，更重要的是体现教学结论的基本精神，从而逐步达到善于科学地整理自己的思想．

例：已知关于 x 的方程 kx 2 +(2k-1)x+k-2 ＝ 0 ．

(1) 若方程有实根，求 k 的取值范围；

(2) 若此方程两实根为 x l ， x 2 ，且 x l 2 +x 2 2 ＝ 3 ，求 k 的值。

解： (1) 依题意，得 (2k-1) 2 -4k(k-2) ≥ 0 ，解得 k ≥ - 1/4 ，所以 k 的取值范围是 k ≥ - 1/4 ．

(2) 依题意，得 x 1 2 +x 2 2 ＝ (x l +x 2 ) 2 -2x l x 2 =3 即 ，化简得 k 2 ＝ 1 ．故 k ＝± 1.

上面解答有无错误 ? 若有，指出错误之处，并直接写出正确答案，

解：上面两题解答均有错误，正确解答是： (1) 分 k ＝ 0 和 k ≠ 0 两种情况，

当 k ＝ 0 时，为一元一次方程 -x-2 ＝ 0 ，方程有实数解 x=-2 ，

当 k ≠ 0 时，方程为一元二次方程，依题意△≥ 0 ，

故 (2k-1) 2 -4k(k-2) ≥ 0 ，解得 k ≥ -1/4 ，所以 k 的取值范围是 k ≥ -1/4 且 k ≠ 0

综合上述两种情况， k 的取值范围是 k ≥ -1/4

(3) 解题过程略．解得 k ＝± 1 之后，同时考虑上面获得的方程有实数根的条件 k ≥ - 1/4 ．故 k ＝ 1

本题以阅读型试题为形式，又以学生作的错题为素材，设计新颖．本题涉及方程的概念，一元二次方程的判别式及韦达定理的基本知识，同时锻炼了学生的审题的能力。

（四）下面以初一年级数学选修课教学实录为例来说明我们所进行过的女生数学思维能力训练过程。为了配合这项训练，寒假作业的内容就是自行利用所掌握的数学知识设计一道数学题，其中有一位同学的设计如下：长宁区要进行一次中学生体锻达标测试

请大家评判一下最后获胜的到底是哪个学校？

题目一念完，几乎所有的学生都异口同声的回答：“市三赢！”但有一个学生却说是延安赢。在教师的反问中她尴尬的笑着说：“大家都说市三赢，而且表面数据看来也是市三高，但不会那么简单的，所以我就说东延安赢。”（看来她的逆向思维能力还是蛮强的！）

大家虽然说不出到底是为什么，但都觉得她说的很有理。过了会大家陆续发现两次两校总共参加的人数是一样的；总人数相同把两次的达标率相加求平均数就应该是最后的达标率……。在教师提示了从分数、百分数、达标率的含义入手后，发现由于两次的达标率的对象不同，故不能两次相加求平均。正确的方法应该是把两次合格的总人数去除以两次参加的总人数再化为百分数。

在这题中，同学们亲身体验到利用数学概念，解决实际问题的方法，在思维能力训练过程中，既锻炼了大家的口头表达能力，又得到了开口叙述的锻炼。

这样的思维训练，提高了女生学习数学的兴趣，让她们因为喜欢数学而学习数学，将大家好的点子、想法、思路等予以表扬、肯定和鼓励，对于某些有偏差或是没有用规范的数学语言表达的地方，只纠正不批评。在训练过程中，同学对同一问题从各方面，运用不同的数学思想多次思考，不断完整，从而达到活跃数学思维，培养数学思维严密性的目的。

四、数学思维训练功夫在今天，利益在长远

一个人学习了数学，长时间地受到数学思维的熏陶，就必然会培养起学习的意志，这是因为数学是一门以论证方式建立的学科，要实验逻辑论证，必须经过不懈的努力，学习数学的那种精神，对所有的学习者都是有益的。此外数学还给了学生以积极的，寻找共同特征和规律的意识，就是对一定的范围内的事物概括其特征和规律的意识，就是对一定阶段的事物变化寻找规律，数学培养人的概括能力，受到这方面熏陶的学生在实际生活中总是积极地进行概括，努力发现周围世界的大大小小的规律，成为工作中新计划，新思路，新建议的提出者，她的建议似乎与数学无关，然而她能这样地积极和善于概括，实在是得益于长期的数学思维。

面对未来的种种挑战，女性参加各类社会活动的机会越来越多，如果我们女中没有给她们创造一个良好的数学思维训练的条件和空间，没有培养出她们优秀的思维品质和思维习惯，那将是数学教育的失败，是上海市三女中对女子教育的不成功。社会对教育抱着很多期待以及对现状的不满足，全社会都在呼唤素质教育，人们不仅仅满足于知识的传授，更强调人的素质和能力，要求培养的学生能适应职业周期缩短，节奏加快，竞争激烈的现代社会，需要培养的人有更内在更深刻的东西，这就是数学素质，数学教育更能满足。

数学教育作为培养人的思维能力的过程，完全不是人们想象的那样既枯燥又乏味，相反它是丰富多彩的充满活力的，未来的教育将更直接地面对实际问题，科学的进步没有休止。作为一名数学教师，怎样提高学生的数学素质，培养她们的数学思维能力是值得我们继续深入探讨的问题。

作者单位：上海市第三女子中学